中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。中国商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

勾股定理是我们古人早期发现并证明的重要数学定理之一，用现代代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是形数理结合的科学理论之一。

今天，我们将勾股定理以几何波弦形态表现出来，从而验证物质发展演变的几何波动规律。

我们首先根据勾股定理，从最小数3开始，依次求出十二组勾股数组：

（3、4、5）（4、3、5）（5、12、13）（6、8、10）

（7、24、25）（8、6、10）（8、15、17）（9、12、15）

（9、40、41）（10、24、26）（11、60、61）（12、5、13）

然后再将以这十二组勾股数组在代入坐标系，就可以绘制一张平面几何图：

我们以时间为横轴，空间为纵轴，以其中最小的一条直角边3为始对应为横轴，取其对应的另一条直角边对应纵轴，将其连线得出图8:

图8

图8中设X轴为时间，Y轴为空间，0为混沌点。

在时间X轴上依次以自然数3开始从小到大依次排列到12。

Y轴代表空间，依次以勾股定理数组所对应的另一三角形的边排列，求出勾股数组的交集，将这些点相连，绘出一张平面曲线图。

我们把图中的线段称为“弦”。其中奇数弦为向上，偶数为向下。

从图中可以看出：

从时间轴0到12这个单位的空间线段，经历了十二次转折形态。

在这段时空里，线段总是以奇数弦向上，偶数弦向下的波动形式发展。这对应了奇数为+，偶数为-的对立性。

且从图中可以发现一个周期性的波动规律，第一弦与第五弦的数是逐渐递进上升的。第六弦突然破坏了这种递进上升过程。我们发现此时的勾股数组6,8,10和8,6,10两组互相重复。因此构成了第六弦的破坏形态。如图9

图9

我们再看，第七弦到第十一弦同样为逐渐递进上升，在第十二弦时这个上升形态结构被破坏，此时我们发现勾股数组5,12,13和12,5,13两组发生重叠现象，因此第十二弦破坏了原有的逐渐递进的上升形态结构。

由此我们给出一个勾股波弦图的定义：勾股波弦图中总是以三弦数为变化的，1、2、3弦构成了一个趋势向上的形态，紧接着又构成了一个趋势向下的1、2、3、弦，如此交替循环往复。

我们再以其一条最短直角边3始对应横轴，依次求出其对应的勾股弦为纵轴，求出其12组坐标，并连线得出图10。

图10

根据图10我们发现了一个对立统一规律：即任何一个维度都可以看作是一个单一的存在，其内部总是可以被分为次维度的三种波动形态。即一可以分为次维度的1、2、3。或者说本维度的1、2、3总是可以被归纳到高一级维度的一。

图10中，一二三可以看作是一个维度，那么依次维度又构成了一个新的发展，即一二三、四、五六七，这三个维度又构成了更高级的波动形态。

因此我们得出：勾股弦图具有周期性的规律，这个周期总是以三弦为一个周期的循环。以一分为三，三分为九的规律循环递进发展。

我们还可以根据一个定理公式推出另一张以自然数为顺序的勾股数组图。这个定义就是：设A为奇数，B为偶数，那么A²÷2±0.5所得的两个数就是这个奇数的勾股数组，那么(B÷2)²±1所得的两个数就是这个偶数的勾股数组，把这两个公式按照勾股定理最小数3开始，依次求得的数组为：

3、4、5

4、3、5

5、12、13

6、8、10

7、24、25

8、15、17

9、40、41

10、24、26

11、60、61

12、35、37

将这十组勾股数组代入坐标系得出一个9条几何线段图。如图11

图11

这组勾股图中的每个X轴的数都没有重复，因此整个图形结构发生了变化，奇数弦与偶数弦都是逐渐的上升形态，并不会出现偶数弦的破坏的现象。

这两张不同的勾股图本质是相同的，不同的是一个叠加了，一个没有叠加。比如勾股数组：5,12,13和12,5,13这两组数组在图9中都出现了，但在图11中就只出现一个。也就相当于“波弦分形图”中的第三维中的内分形，如果忽略内分形，那么图9和图11一样，总是呈现简单的一波比一波高的简单发展形态。

这就引申出两个不同几何形态，一个是复杂型、一个是简单型，即一个事物的总体发展周期趋势总是曲折向上的，总是递进的，总是发展的。